Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知圓過坐標原點且圓心在曲線上．

(1)若圓分別與軸、軸交于點、(不同于原點)，求證：的面積為定值；

(2)設(shè)直線與圓交于不同的兩點，且，求圓的方程；

(3)設(shè)直線與(2)中所求圓交于點、， 為直線上的動點，直線，與圓的另一個交點分別為，，且，在直線異側(cè)，求證：直線過定點，并求出定點坐標．

Answer 1

【答案】(1)證明過程見解析；(2) ；（3）直線過定點.

【解析】(1)由題意可設(shè)圓M的方程為，

即．令，得；令，得．

(定值)．

(2)由，知．所以，解得．

當時，圓心M到直線的距離小于半徑，符合題意；

當時，圓心M到直線的距離大于半徑，不符合題意．

所以，所求圓M的方程為．

(3)設(shè)，，，又知，，

所以，．

顯然，設(shè)，則.

從而直線PE方程為：，與圓M的方程聯(lián)立，消去y，可得：，所以，，即；

同理直線PF方程為：，與圓M的方程聯(lián)立，消去y，可得：，所以，，即.

所以 ；

.

消去參數(shù)m整理得． ①

設(shè)直線的方程為，代入，

整理得．

所以，．

代入①式，并整理得，

即，解得或．

當時，直線的方程為，過定點；

當時，直線的方程為，過定點

第二種情況不合題意(因為在直徑的異側(cè))，舍去.

所以，直線過定點.