Question

【題目】如圖，四棱錐的底面為正方形，⊥底面，分別是的中點，.

（Ⅰ）求證∥平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成的角；

（Ⅲ）求四棱錐的外接球的體積.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）45°;（Ⅲ）.

【解析】試題分析：(Ⅰ)欲證∥平面；連,根據中位線可以知道 ,而不在平面內,滿足定理所需條件;

(Ⅱ)關鍵是證明平面，找到是直線與平面所成的角;

（Ⅲ）利用補成正方體的思想，求外接球的半徑.

試題解析：（Ⅰ）如圖，連結，則是的中點，又是的中點，

∴.又∵平面，面

∴平面.

（Ⅱ）取的中點，連接.

在正方形中，是的中點，有.

∵平面，平面，∴，

∵，∴平面，

∴是直線在平面的射影，∴是直線與平面所成的角，

在直角三角形中，，所以.

∴直線與平面所成的角為45°.

（Ⅲ）設四棱錐的外接球半徑為，，則

，即.

所以外接球的體積為.