Question

【題目】如圖（1）所示，在直角梯形中，，，，，是的中點(diǎn)，是與的交點(diǎn)．將△沿折起到△的位置，如圖（2）所示．

（1）證明：平面；

（2）若平面平面，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）由圖（1）可得，由圖（2）可得平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得平面；（2）由平面平面可得為二面角的平面角，所以，因此以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的法向量，根據(jù)向量的夾角公式求解.

試題解析：（1）證明：在圖（1）中，因?yàn)?/span>，，是的中點(diǎn)，

，所以，，

在圖（2）中，，，

又，平面，平面，

從而平面，

又，

所以平面．

（2）由已知，平面平面，

又由（1）知，，，

所以為二面角的平面角，

所以，

如圖，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?/span>，，

所以，，，，

得，，．

設(shè)平面的法向量，平面的法向量，平面與平面的夾角為，

則得取；

得取；

從而，

即平面與平面所成銳二面角的余弦值為．