Question

已知函數(shù)，，．
（1）求函數(shù)的極值點；
（2）若在上為單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；
（3）設，若在上至少存在一個，使得成立，求的取值范圍．

Answer 1

(1)為函數(shù)的極小值點；（2）的取值范圍是；
（3）的取值范圍是

試題分析：(1)因為.由得，
所以為函數(shù)的極小值點；
（2）.
在上為單調(diào)函數(shù)，則或在上恒成立.
等價于,所以.
等價于，所以.由此可得的取值范圍.
（3）構造函數(shù)，
在上至少存在一個，使得成立，則只需在上的最大值大于0 即可.接下來就利用導數(shù)求在上的最大值.
當時，，所以在不存在使得成立.
當時，，因為，所以在恒成立，
故在單調(diào)遞增，，
所以只需，解之即得的取值范圍.
試題解析：(1)因為.由得，
所以為函數(shù)的極小值點              3分
（2），.
因為在上為單調(diào)函數(shù)，所以或在上恒成立                                                      5分
等價于
．                     7分
等價于即在恒成立，
而．
綜上，的取值范圍是．                         8分
（3）構造函數(shù)，
當時，，所以在不存在使得成立.
當時，              12分
因為，所以在恒成立，
故在單調(diào)遞增，，
所以只需，解之得，
故的取值范圍是                               14分