Question

已知函數(shù).
(Ⅰ)求在處的切線方程；
(Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若，求證：.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）當，的單調(diào)增區(qū)間；當時,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是；（Ⅲ）詳見解析.

試題分析：（Ⅰ）求出導數(shù)及切點，利用直線的點斜式方程即可得切線方程.
（Ⅱ）將求導，利用求得其遞增區(qū)間，求得其遞減區(qū)間.
在本題中，，由得：.當, 的單調(diào)增區(qū)間；
當時,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是.
（Ⅲ）本題首先要考慮的是，所要證的不等式與函數(shù)有什么關系？待證不等式可做如下變形： ，最后這個不等式與有聯(lián)系嗎？我們往下看.
,所以在上是增函數(shù).
因為，所以
即從這兒可以看出，有點聯(lián)系了.同理，
所以，
與待證不等式比較，只要問題就解決了，而這由重要不等式可證，從而問題得證.
試題解析：（Ⅰ），，所以切線為：即  3分
（Ⅱ），
，     4分
，,        5分
當，的單調(diào)增區(qū)間；     6分
當時,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是.  8分
（Ⅲ）,所以在上是增函數(shù), 上是減函數(shù)
因為，所以
即,同理.
所以
又因為當且僅當“”時，取等號.
又，,
所以,所以，
所以：.     14分