Question

【題目】在四棱柱中，底面是正方形，且， ．

（1）求證： ；

（2）若動點在棱上，試確定點的位置，使得直線與平面所成角的正弦值為．

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)

【解析】試題分析：（1）連接， ， ， 與的交點為，連接，則，由正方形的性質可得，從而得平面， ，

又，所以；（2）由勾股定理可得，由（1）得所以底面，所以、、兩兩垂直．以點為坐標原點， 的方向為軸的正方向，建立空間直角坐標系，設（），求得，利用向量垂直數量積為零可得平面的一個法向量為，利用空間向量夾角余弦公式列方程可解得，從而可得結果.

試題解析：（1）連接， ， ，

因為， ，

所以和均為正三角形，

于是．

設與的交點為，連接，則，

又四邊形是正方形，所以，

而，所以平面．

又平面，所以，

又，所以．

（2）由，及，知，

于是，從而，

結合， ，得底面，

所以、、兩兩垂直．

如圖，以點為坐標原點， 的方向為軸的正方向，建立空間直角坐標系，

則， ， ， ， ， ，

， ，

由，易求得．

設（），

則，即，

所以．

設平面的一個法向量為，

由得令，得，

設直線與平面所成角為，則

，

解得或（舍去），

所以當為的中點時，直線與平面所成角的正弦值為．

【方法點晴】本題主要考查利用線面垂直證明線線垂直以及利用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當的空間直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據定理結論求出相應的角和距離.