Question

【題目】己知橢圓過(guò)點(diǎn)，，是兩個(gè)焦點(diǎn)．以橢圓的上頂點(diǎn)為圓心作半徑為的圓，

（1）求橢圓的方程；

（2）存在過(guò)原點(diǎn)的直線，與圓分別交于，兩點(diǎn)，與橢圓分別交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在線段上），使得，求圓半徑的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由題意結(jié)合橢圓性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，即可得解；

（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為：， ，，聯(lián)立方程后利用弦長(zhǎng)公式可得，由圓的性質(zhì)可得，轉(zhuǎn)化條件得，可得，即可得解.

（1）設(shè)橢圓的焦距為，

由題意，，所以，，

故橢圓的方程為；

（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，圓過(guò)原點(diǎn)，符合題意，；

當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為：，，，

由直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，

則，所以，，

則，

所以，

點(diǎn)到直線的距離，則 ，

因?yàn)?/span>，點(diǎn)在線段上，所以點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，

只需即，

所以，

則

因?yàn)?/span>，

所以，所以，；

綜上，的取值范圍為.