Question

【題目】如圖，正四面體ABCD的邊長(zhǎng)等于2，點(diǎn)A，E位于平面BCD的兩側(cè)，且，點(diǎn)P是AC的中點(diǎn)．

（1）求證：平面

（2）求BP與平面所成的角的正弦值

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．

【解析】

（1）首先取的中點(diǎn)，連接，，，根據(jù)已知條件易證與相似，從而得到，再利用線面平行的判定證明即可.

（2）取中點(diǎn)，連接，根據(jù)題意易證平面，設(shè)與平面所成角為，與所成的角為，得到，再利用向量法即可得到答案.

（1）取的中點(diǎn)，連接，，，如圖所示：

設(shè)在平面上的射影為，即平面，

，

所以為外心，

，同理可證在平面上的射影為，

即平面，所以三點(diǎn)共線，

即，所以四邊形為平面四邊形，

且為的中心，因?yàn)檎�四面體的邊長(zhǎng)等于，

所以，，

又，所以，

又，所以，

所以，所以，

而平面，平面，故平面.

（2）取中點(diǎn)，連接，如圖所示：

因?yàn)檎�四面體，

所以，，又因?yàn)?/span>，

所以平面，

設(shè)與平面所成角為，

與所成的角為，則，

設(shè)為一組基底，

則，

所以，

.

因?yàn)?/span>，

所以.

又因?yàn)?/span>，，

所以，

即與平面所成角的正弦值為．