Question

【題目】如圖1，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上靠近的三等分點(diǎn).現(xiàn)沿進(jìn)行翻折，得到四棱錐，如圖2，且.在圖2中：

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）由的特殊直角三角形可知AC，再由余弦定理可求得MN，進(jìn)而由勾股定理可證，且，最后由線面垂直的判定定理即可得證；

（2）在圖1中，，所以，即，即可以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，即可表示與平面的法向量，最后由空間中向量法求得線面角的正弦值.

（1）證明：因?yàn)?/span>，所以.

由題意，得，所以.

在中，由余弦定理，得，

則，所以在圖2中，，所以.

又，且，即在圖2中，，所以，

又，平面，所以平面.

（2）在圖1中，，所以，即.

以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由（1）可知，，，，，則，.

設(shè)平面的法向量為，

則即解得令，則.

設(shè)直線與平面所成角為，又，

則.