Question

【題目】已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為9，最小值為1，記；

（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）若不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）定義在上的函數(shù)，設(shè)，其中將區(qū)間任意劃分成個(gè)小區(qū)間，如果存在一個(gè)常數(shù)，使得和式恒成立，則稱(chēng)函數(shù)為在上的有界變差函數(shù)，試判斷函數(shù)是否為在上的有界變差函數(shù)?若是，求的最小值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（3）或；（3）是，.

【解析】

（1）根據(jù)在上的單調(diào)性可得的最大值和最小值，結(jié)合已知條件可求的值.

（2）不等式等價(jià)于，由后者可以得到，從而可求的取值范圍.

（3）對(duì)任意的上的劃分，必定存在，使得，從而可得，故可得的最大值，從而可判斷是上的有界變差函數(shù)且.

（1）因?yàn)?/span>的對(duì)稱(chēng)軸為直線，

故在為增函數(shù)，所以，

，解得，又，解得.

所以.

（2）由（1）得，

因?yàn)?/span>，所以等價(jià)于，

所以，故或，解得或.

（3）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，

且在為減函數(shù)，在為增函數(shù).

設(shè)將區(qū)間任意劃分成個(gè)小區(qū)間，

且，則存在，

使得，

所以

，

整理得到，

因?yàn)?/span>，，

故，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，

故是上的有界變差函數(shù)，又，所以.