Question

設為實數(shù)，函數(shù)。
①求的單調區(qū)間與極值；
②求證：當且時，。

Answer 1

（1）解：由
令，得于是當的變化情況如下：

	-	0	+

故的單調遞減區(qū)間是，單調遞增區(qū)間是，在處取得極小值，極小值為
（2）設。對于任意的＞0，所以在R內單調遞增。
得到。

解析試題分析：（1）解：由
令，得于是當的變化情況如下：

	-	0	+

故的單調遞減區(qū)間是，單調遞增區(qū)間是，在處取得極小值，極小值為
（2）證：設。由(1)知＞時，＞0
于是對于任意的＞0，所以在R內單調遞增。
于是當＞時，對任意的＞
而=0，從而對于任意的，＞0.
即＞0，故
考點：本題主要考查導數(shù)計算，應用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值，利用導數(shù)證明不等式。
點評：典型題，在給定區(qū)間，導數(shù)值非負，函數(shù)是增函數(shù)，導數(shù)值為非正，函數(shù)為減函數(shù)。求極值的步驟：計算導數(shù)、求駐點、討論駐點附近導數(shù)的正負、確定極值。不等式證明中，構造函數(shù)是關鍵。本題利用“本解法”，直觀明了。