Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；

（2）若有兩個不同零點，，證明：且.

Answer 1

【答案】（1）分類討論，詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

(1)求導(dǎo)后，令得或，按照與的大小分三種情況討論即可得到答案；

(2)根據(jù)(1)知時，函數(shù)的極小值大于0，因此函數(shù)不可能有2個零點，故，

所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以極小值，可得，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得到在上遞增，從而可得時，，設(shè)，則，所以，所以，所以。

（1）.

因為，由得，或.

i）即時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；

ii）即時，在單調(diào)遞減；

iii）即時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.

（2）由（1）知，時，的極小值為，

時，的極小值為，

時，在單調(diào)，

故時，至多有一個零點.

當(dāng)時，易知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

要使有兩個零點，則，即，得.

令，（），則 ，所以在時單調(diào)遞增，，.

不妨設(shè)，則，，， .

由在單調(diào)遞減得，，即.