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          已知雙曲線C：
          x2
          a2
          -
          y2
          b2
          =1(a＞0，b＞0)          的漸近線方程為y=±
          		3
          x          ，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M(
          		5
          ，
          		3
          )          在雙曲線上．
          （1）求雙曲線C的方程；
          （2）若直線l與雙曲線交于P，Q兩點(diǎn)，且
          OP
          ⊥
          OQ
          ，求|OP|2+|OQ|2的最小值．
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          （1）雙曲線C的漸近線方程為y=±
          		3
          x          ，
          ∴b2=3a2，
          ∵點(diǎn)M(
          		5
          ，
          		3
          )          在雙曲線上，∴
          5
          a2
          -
          3
          b2
          =1          ，
          聯(lián)立得
          b2=3a2
          5
          a2
          -
          3
          b2
          =1
          ，解得
          a2=4
          b2=12
          ，
          ∴雙曲線C的方程為
          x2
          4
          -
          y2
          12
          =1          ．
          （2）設(shè)直線PQ的方程為y=kx+m，點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2），
          將直線PQ的方程代入雙曲線C的方程，可化為（3-k2）x2-2kmx-m2-12=0
          ∴
          3-k2≠0
          △=(-2km)2-4(3-k2)(-m2-12)＞0
          （*）
          x1+x2=
          2km
          3-k2
          ，x1x2=
          -m2-12
          3-k2
          ，
          由
          OP
          •
          OQ
          =0⇒x1•x2+y1•y2=0          ，
          把y1=kx1+m，y2=kx2+m代入上式可得(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0，
          ∴(1+k2)
          -m2-12
          3-k2
          +km
          2km
          3-k2
          +m2=0          ，
          化簡(jiǎn)得m2=6k2+6．
          |OP|2+|OQ|2=|PQ|2=(1+k2)[(x1+
          x2
          )2-4x1x2]=24+
          384k2
          (k2-3)2
          ，
          當(dāng)k=0時(shí)，|PQ|2=24+
          384k2
          (k2-3)2
          ≥24          成立，且滿足（*）
          又∵當(dāng)直線PQ垂直x軸時(shí)，|PQ|2＞24，
          ∴|OP|2+|OQ|2的最小值是24．
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習(xí)冊(cè)系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關(guān)習(xí)題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：不詳
				題型：解答題
			
          

						
          設(shè)橢圓C：
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a＞b＞0)          過(guò)點(diǎn)（0，4），離心率為
          3
          5

          （1）求C的方程；
          （2）求過(guò)點(diǎn)（3，0）且斜率為
          4
          5
          的直線被C所截線段的長(zhǎng)度．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：不詳
				題型：解答題
			
          

						
          如圖，橢圓C1：
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1          （a＞b＞0）和圓C2：x2+y2=b2，已知圓C2將橢圓C1的長(zhǎng)軸三等分，橢圓C1右焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為
          		2
          4
          ，橢圓C1的下頂點(diǎn)為E，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O且與坐標(biāo)軸不重合的任意直線l與圓C2相交于點(diǎn)A、B．
          （1）求橢圓C1的方程；
          （2）若直線EA、EB分別與橢圓C1相交于另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)P、M．
          ①求證：直線MP經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)；
          ②試問(wèn)：是否存在以（m，0）為圓心，
          3
          		2
          5
          為半徑的圓G，使得直線PM和直線AB都與圓G相交？若存在，請(qǐng)求出所有m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：不詳
				題型：解答題
			
          

						
          若橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1          （a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，線段F1F2被拋物線y2=2bx的焦點(diǎn)F內(nèi)分成了3：1的兩段．
          （1）求橢圓的離心率；
          （2）過(guò)點(diǎn)C（-1，0）的直線l交橢圓于不同兩點(diǎn)A、B，且
          AC
          =2
          CB
          ，當(dāng)△AOB的面積最大時(shí)，求直線l和橢圓的方程．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：不詳
				題型：解答題
			
          

						
          已知直線l1過(guò)A（0，1），與直線x=-2相交于點(diǎn)P（-2，y0），直線l2過(guò)B（0，-1）與x相交于Q（x0，0），x0、y0滿足y0-
          x0
          2
          =1          ，l1∩l2=M．
          （Ⅰ）求直線l1的方程（方程中含有y0）；
          （Ⅱ）求點(diǎn)M的軌跡C的方程；
          （Ⅲ）過(guò)C左焦點(diǎn)F1的直線l與C相交于點(diǎn)A、B，F(xiàn)2為C的右焦點(diǎn)，求△ABF2面積最大時(shí)點(diǎn)F2到直線l的距離．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：不詳
				題型：解答題
			
          

						
          已知兩點(diǎn)F′（-2，0），F(xiàn)（2，0），點(diǎn)P為坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足|
          F′F
          ||
          FP
          |+
          F′F
          •
          F′P
          =0          ．
          （1）求動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的軌跡C的方程；
          （2）過(guò)點(diǎn)F的直線l與軌跡C和⊙F：（x-2）2+y2=1交于四點(diǎn)，自下而上依次記這四點(diǎn)為A、B、C、D，求
          AB
          •
          CD
          的最小值．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：不詳
				題型：解答題
			
          

						
          已知橢圓G：
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1（a＞b＞0）的離心率為
          		6
          3
          ，右焦點(diǎn)為（2
          		2
          ，0），斜率為1的直線l與橢圓G交與A、B兩點(diǎn)，以AB為底邊作等腰三角形，頂點(diǎn)為P（-3，2）．
          （Ⅰ）求橢圓G的方程；
          （Ⅱ）求△PAB的面積．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：不詳
				題型：解答題
			
          

						
          已知橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a＞b＞0)          的左右焦點(diǎn)為F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），點(diǎn)Q是橢圓外的動(dòng)點(diǎn)，滿足|
          F1Q
          |=2a          ，點(diǎn)P是線段F1Q與該橢圓的交點(diǎn)
          （1）若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為
          a
          2
          ，證明：|
          F1P
          |=a+
          c
          2

          （2）若存在點(diǎn)Q，使得△F1QF2的面積等于b2，求橢圓離心率的取值范圍．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：不詳
				題型：單選題
			
          

						
          已知拋物線方程y2=4x，過(guò)點(diǎn)P（1，2）的直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，這樣的直線有（　�。�
          A．0條B．1條C．2條D．3條
          

			
          

			
          
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