Question

(本題滿分16分)本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分10分．
　　已知兩點(diǎn)、，點(diǎn)是直角坐標(biāo)平面上的動(dòng)點(diǎn)，若將點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變、縱坐標(biāo)擴(kuò)大到倍后得到點(diǎn)滿足．
(1) 求動(dòng)點(diǎn)所在曲線的軌跡方程；
(2)(理科)過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線交曲線于兩點(diǎn)，且滿足，又點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，試問(wèn)四點(diǎn)是否共圓，若共圓，求出圓心坐標(biāo)和半徑；若不共圓，請(qǐng)說(shuō)明理由．
(文科)過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線交曲線于兩點(diǎn)，且滿足(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，試判斷點(diǎn)是否在曲線上，并說(shuō)明理由．

Answer 1

解(1)依據(jù)題意，有．
∵，
∴．
∴動(dòng)點(diǎn)P所在曲線C的軌跡方程是．
(2)(理科)因直線過(guò)點(diǎn)，且斜率為，
故有．聯(lián)立方程組，得．
設(shè)兩曲線的交點(diǎn)為、，可算得．
又，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
于是，可得點(diǎn)、．
若線段、的中垂線分別為和，則有，．
聯(lián)立方程組，解得和的交點(diǎn)為．
因此，可算得，
　　　　　　．
所以，四點(diǎn)共圓，圓心坐標(biāo)為，半徑為．

略