Question

【題目】已知在極坐標系中點C的極坐標為.

(1)求出以點C為圓心，半徑為2的圓的極坐標方程(寫出解題過程)并畫出圖形；

(2)在直角坐標系中，以圓C所在極坐標系的極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立直角坐標系，點P是圓C上任意一點，Q(5，－)，M是線段PQ的中點，當點P在圓C上運動時，求點M的軌跡的普通方程．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】(1)如圖，設圓C上任意一點A(ρ，θ)，則∠AOC＝θ－或－θ.

由余弦定理得，AC2＝OA2＋OC2－2OA·OCcos，

即4＋ρ2－4ρcos＝4.

∴圓C的極坐標方程ρ＝4cos.

(2)在直角坐標系中，點C的坐標為(1，)，可設圓C上任意一點P(1＋2cos α，＋2sin α)，又令M(x，y)，

∵Q(5，－)，M是線段PQ的中點．

∴M的參數方程為

即 (α為參數)．

∴點M的軌跡的普通方程為(x－3)2＋y2＝1.