Question

【題目】已知.

（1）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；

（2）證明：當(dāng)時(shí)，對(duì)任意滿(mǎn)足的正實(shí)數(shù)，，都有.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）由求導(dǎo)得到，再分和兩種情況結(jié)合零點(diǎn)存在定理討論求解.

（2）當(dāng)時(shí)，由，得到，然后兩式相減解得，，令，則，然后構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)法證明即可.

（1）的定義域是，.

①當(dāng)時(shí)，，在定義域上單調(diào)遞增，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)，由，得，

當(dāng)時(shí)，，在定義域上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，的定義域上單調(diào)遞增；

∴時(shí)，取得極小值.

因?yàn)?/span>有兩個(gè)零點(diǎn)，所以，解得，

∵，∴在有唯一實(shí)數(shù)根：

取，

設(shè)，，

所以在上遞減，

所以，

即，

則，

∴在有唯一實(shí)數(shù)根.

綜上，的取值范圍是.

（2）當(dāng)時(shí)，由，得，

兩式相減得：，

則，，

令，則，

設(shè)，，

∴在上為增函數(shù)，，

又，

∴，

即.