Question

已知f(x)=cos(2x-

π

3

)+4sin2x
（1）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若x∈[0，

π

2

]，求函數(shù)的最大值及最小值．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)解析式第一項(xiàng)利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡，第二項(xiàng)利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，找出ω的值，代入周期公式即可求出函數(shù)的最小正周期；由正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間即可求出函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間；
（2）由x的范圍求出這個(gè)角的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出正弦函數(shù)的值域，即可確定出函數(shù)的最小值與最大值．

解答：解：（1）f（x）=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+2（1-cos2x）=

3

2

sin2x-

3

2

cos2x+2=

3

sin（2x-

π

3

）+2，
∵ω=2，∴最小正周期T=

2π

2

=π，
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），得：kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

（k∈Z），
則函數(shù)的遞增區(qū)間是[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]（k∈Z）；
（2）∵x∈[0，

π

2

]，
∴-

π

3

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，
∴-

3

2

≤sin（2x-

π

3

）≤1，
則f_min（x）=

3

×（-

3

2

）+2=

1

2

，f_max（x）=

3

×1+2=

3

+2．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式，三角函數(shù)的周期性及其求法，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及正弦函數(shù)的單調(diào)性，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．