Question

【題目】已知函數(shù),其中

（1）當(dāng)時,求曲線在點處的切線方程；

（2）若函數(shù)存在最小值,求證:.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）將代入函數(shù),對函數(shù)求導(dǎo),將代入導(dǎo)函數(shù)求斜率,將代入原函數(shù)求切點,最后用點斜式求曲線在點處的切線方程；

（2）先求導(dǎo)得,討論當(dāng)時,恒成立,則在單調(diào)遞增,無最小值.當(dāng)時,令得或（舍）

分別討論時和 時的單調(diào)性,得出所以存在最小值,.再對新函數(shù)求導(dǎo),根據(jù)單調(diào)性即可得出最大值為,則得證.

解：（1）時,

切線斜率

曲線在點處的切線方程為：

即：

（2）

①當(dāng)時,恒成立

在單調(diào)遞增,無最小值

②當(dāng)時,由得或（舍）

時,,在單調(diào)遞減

時,,在單調(diào)遞增

所以存在最小值,

下面證明.

設(shè)函數(shù)

由得,易知在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減

所以的最大值為

所以恒成立,得證.