Question

【題目】已知橢圓:上任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離和為4，且離心率為．

（1）求橢圓的方程．

（2）過作互相垂直的兩條直線分別與橢圓交于，和，，設(shè)中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，試探究直線是否過定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)；若不是，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）； （2）過定點(diǎn)，.

【解析】

（1）和直接計(jì)算即可.(2) 若直線斜率存在且不為0．設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，用中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示出，同理，求出直線的方程為過定點(diǎn)；

當(dāng)直線斜率不存在或?yàn)?/span>0時(shí)，直線即為軸，也過點(diǎn)．

解：（1）由題意知，所以．

又，知．

所以，所以．

故橢圓的方程為．

（2）若直線斜率存在且不為0．設(shè)直線的方程為，

與橢圓方程聯(lián)立得，

顯然，設(shè)，坐標(biāo)分別為，，中點(diǎn)坐標(biāo)為，

則，，

即．

同理可得，，

．

直線的方程為，

整理得．

當(dāng)直線斜率不存在或?yàn)?/span>0時(shí)，直線即為軸，也過點(diǎn)．

綜上，直線過定點(diǎn)．