Question

【題目】已知集合是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)的全體：存在實數(shù)、，對于定義域內(nèi)任意，均有成立，稱數(shù)對為函數(shù)的“伴隨數(shù)對”.

（1）判斷函數(shù)是否屬于集合，并說明理由；

（2）若函數(shù)，求滿足條件的函數(shù)的所有“伴隨數(shù)對”；

（3）若、都是函數(shù)的“伴隨數(shù)對”，當時，，當時，，求當時，函數(shù)的解析式和零點.

Answer 1

【答案】（1）；詳見解析

（2），，；

（3），零點為，2015，2016.

【解析】

(1) 由題意可得，化為對 成立，需滿足條件，解方程即可判斷；(2) 由題意可得，運用兩角和差公式，化簡結(jié)合余弦函數(shù)的值域即可得到所求數(shù)對；(3)由都是函數(shù)的“伴隨數(shù)對”，可得為周期為4的函數(shù)，，，，的函數(shù)解析式，可得，的解析式，即可得到所求零點.

(1)的定義域為，假設(shè)存在實數(shù)，對于定義域內(nèi)的任意均有成立，則，

化為，由于上式對于任意實數(shù)x都成立：，解得

是函數(shù)的“伴隨數(shù)對”，；

(2) 函數(shù)，

，

，

，

都成立，，

，

，又，

故，

當時，，

當時，，

的“伴隨數(shù)對”為；

(3) 都是函數(shù)的“伴隨數(shù)對”，

，

，

當時，則，此時，

當時，則，此時，

當時，則，此時，

，

，

當時，函數(shù)的零點為.