Question

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

（1）求導(dǎo)，讓導(dǎo)函數(shù)為零，解出方程，根據(jù)根之間的大小關(guān)系，進(jìn)行分類討論，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）（）由（1）知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，可以判斷有一個(gè)零點(diǎn)；

（）當(dāng)或時(shí)，,結(jié)合（1）中的結(jié)論，對(duì)作如下分類，利用單調(diào)性，判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

① 當(dāng)時(shí)，可以判斷有二個(gè)零點(diǎn)；

② 當(dāng)時(shí)，可以判斷有一個(gè)零點(diǎn)；

③ 當(dāng)時(shí)，∴當(dāng)時(shí)，可以判斷有1個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，可以判斷有2個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，可以判斷有3個(gè)零點(diǎn)；

解：（1），

令得，，

①當(dāng)，即時(shí)，恒成立，∴在上增；

②當(dāng)，即時(shí)，令，得或，

令，得，

∴在上增，在上減，在上增；

③當(dāng)即時(shí)，令，得或，

令，得，

∴在上增，在上減，在上增；

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為.

（2）（方法一）（）由（1）知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，又，故1個(gè)零點(diǎn)；

（）當(dāng)或時(shí)，，

① 當(dāng)時(shí)，在上增，在上減，在上增，

∵，，，此時(shí)2個(gè)零點(diǎn)；

② 當(dāng)時(shí)，在上增，在上減，在上增；

，又，此時(shí)1個(gè)零點(diǎn)；

③ 當(dāng)時(shí)，在上增，在上減，在上增；

，，

，

∵，

∴當(dāng)時(shí)，，有1個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，，有2個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，，有3個(gè)零點(diǎn)；

綜上所述：當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn).