Question

直線l：y=kx+1與圓O：x²+y²=1相交于A，B 兩點，則“k=1”是“△OAB的面積為

1

2

”的（　　）

• A、充分而不必要條件
• B、必要而不充分條件
• C、充分必要條件
• D、既不充分又不必要條件

Answer 1

考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷,直線與圓相交的性質(zhì)

專題：直線與圓,簡易邏輯

分析：根據(jù)直線和圓相交的性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可得到結(jié)論．

解答： 解：若直線l：y=kx+1與圓O：x²+y²=1相交于A，B 兩點，
則圓心到直線距離d=

1

1+k2

，|AB|=2

1-d2

=2

1- 1 1+k2

=2

k2 1+k2

，
若k=1，則|AB|=2

1 2

=

2

，d=

1

1+1

=

2

2

，則△OAB的面積為

1

2

×

2

×

2

2

=

1

2

成立，即充分性成立．
若△OAB的面積為

1

2

，則S=

1

2

×

1

1+k2

×2

k2 1+k2

=

1

2

×2×

k2

1+k2

=

k2

1+k2

=

1

2

，
解得k=±1，則k=1不成立，即必要性不成立．
故“k=1”是“△OAB的面積為

1

2

”的充分不必要條件．
故選：A．

點評：本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用三角形的面積公式，以及半徑半弦之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．