Question

如圖，三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為的正三角形，側(cè)棱垂直于底面，側(cè)棱長(zhǎng)為，D為棱的中點(diǎn)。

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求二面角的大小.

Answer 1

（Ⅰ）參考解析；（Ⅱ）

試題分析：（Ⅰ）要證明平面，主要是通過(guò)線面平行的判斷定理，在平面內(nèi)找一條直線與已知直線平行，通過(guò)三角形的中位線即可得到；
（Ⅱ）依題意底面是正三角形且,又可證明.即可得到所求的二面角的平面角為，從而通過(guò)解直角三角形即可得到二面角的大小.本題關(guān)鍵是通過(guò)了解線面的關(guān)系找出二面角的平面角.
試題解析：（Ⅰ）連接交于點(diǎn)O，連接OD，則OD為中邊上的中位線，所以.又平面ABD，平面ABD，所以平面ABD.
（Ⅱ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824032503674549.png" style="vertical-align:middle;" />為等邊三角形，D為AC中點(diǎn)，所以，由側(cè)棱垂直于底面知，三棱柱為直三棱柱，所以平面平面.又平面ABC 平面=AC，BD平面ABC，所以BD平面，又AD平面，平面，所以ADBD, BD,故為二面角的平面角，由AC=2，知在中，.所以.故所求二面角的大小為.