Question

已知數(shù)列中，，對任意的，、、成等比數(shù)列，公比為；、、成等差數(shù)列，公差為，且．
（1）寫出數(shù)列的前四項；
（2）設(shè)，求數(shù)列的通項公式；
（3）求數(shù)列的前項和．

Answer 1

（1）或；（2）或；（3）時，，時，.

試題分析：（1）求數(shù)列的前4項，相對較容易，由題意可得成等比數(shù)列，而，要求得，對應(yīng)再求得；（2）要求，實質(zhì)上就是求，我們應(yīng)求出的遞推關(guān)系，從而求出通項，由題意，，而，這樣就有，于是關(guān)于的遞推關(guān)系就有了：，把它變形或用代入就可得到結(jié)論；（3）由（2）我們求出了，下面為了求，我們要把數(shù)列從前到后建立一個關(guān)系，分析已知，發(fā)現(xiàn)，這樣就由而求出，于是，，得到數(shù)列的通項公式后，其前項和也就可求得了. 另外由于第（1）題中已知求出的數(shù)列的前4項（我們還可再求出接下來的一些項，增強(qiáng)想象），然后用猜想的方法猜測出其通項公式（），再數(shù)學(xué)歸納法證明之. 
試題解析：（1）由題意得
，，或.               2分
故數(shù)列的前四項為或.                   4分
（2）∵成公比為的等比數(shù)列，
成公比為的等比數(shù)列
∴，
又∵成等差數(shù)列，
∴.
得，，           6分
，
∴，，即.
∴ 數(shù)列數(shù)列為公差等差數(shù)列，且或.    8分
∴或.               10分
（3）當(dāng)時，由（2）得.
，，
，
.                 13分
當(dāng)時，同理可得，.                   16分
解法二：（2）對這個數(shù)列，猜想， 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
ⅰ）當(dāng)時，，結(jié)論成立.
ⅱ）假設(shè)時，結(jié)論成立，即.
則時，
由歸納假設(shè)，. 由成等差數(shù)列可知，于是，
∴ 時結(jié)論也成立.
所以由數(shù)學(xué)歸納法原理知.                 7分
此時.
同理對這個數(shù)列，同樣用數(shù)學(xué)歸納法可證. 此時.
∴或.                           10分
（3）對這個數(shù)列，猜想奇數(shù)項通項公式為.
顯然結(jié)論對成立. 設(shè)結(jié)論對成立，考慮的情形.
由（2），且成等比數(shù)列，
故，即結(jié)論對也成立.
從而由數(shù)學(xué)歸納法原理知.于是（易見從第三項起每項均為正數(shù)）以及，此時.       13分
對于這個數(shù)列，同樣用數(shù)學(xué)歸納法可證，此時.
此時.                                 16分