Question

某農(nóng)戶(hù)準(zhǔn)備建一個(gè)水平放置的直四棱柱形儲(chǔ)水窖（如圖），其中直四棱柱的高AA₁=10m，兩底面ABCD，A₁B₁C₁D₁是高為2m，面積為10m²的等腰梯形，且∠ADC=θ（0＜θ＜

π

2

）．若儲(chǔ)水窖頂蓋每平方米的造價(jià)為100元，側(cè)面每平方米的造價(jià)為400元，底部每平方米的造價(jià)為500元．
（1）試將儲(chǔ)水窖的造價(jià)y表示為θ的函數(shù)；
（2）該農(nóng)戶(hù)如何設(shè)計(jì)儲(chǔ)水窖，才能使得儲(chǔ)水窖的造價(jià)最低，最低造價(jià)是多少元（取

3

=1.73）．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專(zhuān)題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）過(guò)A作AE⊥DC，垂足為E，令A(yù)B=x，求出CD，即可將儲(chǔ)水窖的造價(jià)y表示為θ的函數(shù)；
（2）利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求出最值．

解答： 解：（1）過(guò)A作AE⊥DC，垂足為E，則AE=2，DE=

2

tanθ

，AD=

2

sinθ

，
令A(yù)B=x，從而CD=x+

4

tanθ

，
故

1

2

×2×(x+x+

4

tanθ

)=10，
解得x=5-

2

tanθ

，CD=5+

2

tanθ

，（4分）
所以y=（20+2AD×10）×400+（10AB）×500+（10CD）×100
=8000+8000×

2

sinθ

+5000×(5-

2

tanθ

)+1000(5+

2

tanθ

)=38000+8000(

2

sinθ

-

1

tanθ

)(0＜θ＜

π

2

)（7分）
（2）因?yàn)?span id="m7lm1d8" class="MathJye">y=38000+8000×

2-cosθ

sinθ

，
所以y′=8000

sin2θ-(2-cosθ)cosθ

sin2θ

=

8000(1-2cosθ)

sin2θ

（10分）
令y'=0，則θ=

π

3

，
當(dāng)θ∈(0，

π

3

)時(shí)，y'＜0，此時(shí)函數(shù)y單調(diào)遞減；
當(dāng)θ∈(

π

3

，

π

2

)時(shí)，y'＞0，此時(shí)函數(shù)y單調(diào)遞增．
所以當(dāng)θ=

π

3

時(shí)，ymin=38000+8000

3

=51840．
答：當(dāng)∠ADC=60°時(shí)，等價(jià)最低，最低造價(jià)為51840元．（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，確定函數(shù)模型是關(guān)鍵．