Question

已知圓C：x²+y²+2x-4y+3=0.
(1)若圓C的切線在x軸和y軸上截距相等，求切線的方程;
(2)從圓C外一點P(x，y)向圓引切線PM，M為切點，O為坐標原點，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的點P的坐標.

Answer 1

1、切線方程為y=(2±)x,x+y+1=0或x+y-3=0.
2、P(-，).

(1)圓C：x²+y²+2x-4y+3=0的標準方程為(x+1)²+(y-2)²=2，
∴圓心C(-1，2)，半徑r=.
設(shè)圓C的切線在x軸和y軸上的截距分別為a、b.
當a=b=0時，
切線方程可設(shè)為y=kx，
即kx-y=0.
由點到直線的距離公式得
=.解得k=2±.
∴切線方程為y=(2±)x.
當a=b≠0時，
切線方程為+=1，
即x+y-a=0.
由點到直線的距離公式得
=.
解之,得a=-1或a=3.
∴切線方程為x+y+1=0,x+y-3=0.
總之，所求切線方程為y=(2±)x,x+y+1=0或x+y-3=0.
(2)連結(jié)MC，則|PM|²=|PC|²-|MC|^2.
∵|PM|=|PO|,
∴|PC|²-|MC|²=|PO|²,
即(x+1)²+(y-2)²-2=x²+y^2.
整理得x=2y-.
∴|PM|=|PO|=
=.
當y=-=時，|PM|最小,
此時x=2×-=-.
∴P(-，).