Question

【題目】曲線(xiàn).給出下列結(jié)論:

①曲線(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng);

②曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不小于1;

③曲線(xiàn)只經(jīng)過(guò)個(gè)整點(diǎn)(即橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)).

其中,所有正確結(jié)論的序號(hào)是( )

A.①②B.②C.②③D.③

Answer 1

【答案】C

【解析】

將代入，化簡(jiǎn)后可確定①的真假性.對(duì)分成等種情況進(jìn)行分類(lèi)討論，得出，由此判斷曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不小于1.進(jìn)而判斷出②正確.對(duì)于③，首先求得曲線(xiàn)的兩個(gè)整點(diǎn)，然后證得其它點(diǎn)不是整點(diǎn)，由此判斷出③正確.

①，將代入曲線(xiàn)，得，與原方程不相等，所以曲線(xiàn)不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故①錯(cuò)誤.

②，對(duì)于曲線(xiàn)，由于，所以，所以對(duì)于任意一個(gè)，只有唯一確定的和它對(duì)應(yīng).函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù).當(dāng)時(shí)，有唯一確定的；當(dāng)時(shí)，有唯一確定的.所以曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，這兩點(diǎn)都在單位圓上，到原點(diǎn)的距離等于.當(dāng)時(shí)，，所以.當(dāng)時(shí)，，所以.當(dāng)時(shí)，，且

，

所以.

綜上所述，曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不小于1，所以②正確.

③，由②的分析可知，曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，這是兩個(gè)整點(diǎn).由可得，當(dāng)且時(shí)，若為整數(shù)，必定不是某個(gè)整數(shù)的三次方根，所以曲線(xiàn)只經(jīng)過(guò)兩個(gè)整點(diǎn).故③正確.

綜上所述，正確的為②③.

故選：C