Question

【題目】已知橢圓 的離心率為，橢圓上的點到左焦點的最小值為.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線與軸交于點，過點的直線與交于、兩點，點為直線上任意一點，設(shè)直線與直線交于點，記，，的斜率分別為，，，則是否存在實數(shù)，使得恒成立？若是，請求出的值；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2)見解析

【解析】

（1）根據(jù)題干列出式子，結(jié)合求解即可；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線和橢圓方程，設(shè)，，，，根據(jù)韋達定理化簡得到結(jié)果.當(dāng)直線與軸重合時驗證即可.

（1）橢圓上的左頂點到左焦點的距離最小為，

結(jié)合題干條件得到，解之得，

由，知故橢圓的方程為：，

（2）設(shè)，，，

若直線與軸不重合時，設(shè)直線的方程為，點，，

將直線代入橢圓方程整理得：

，顯然，則，，

若直線與軸重合時，則，，，此時，

而，故.

綜上所述，存在實數(shù)符合題意.