Question

已知f(x)=

1

3

x3-2ax2+3a2x+2的定義域是[0，4]．
（1）若f（x）的極值點(diǎn)是x=3，求a的值；
（2）若f（x）是單峰函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f(x)=

1

3

x3-2ax2+3a2x+2，知f′（x）=x²-4ax+3a²，由f（x）的極值點(diǎn)是x=3，知f′（3）=9-12a+3a²=0，由此能求出a．
（2）f′（x）=x²-4ax+3a²=（x-a）（x-3a），結(jié)合f（x）是單峰函數(shù)，分類討論，能夠求出a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f(x)=

1

3

x3-2ax2+3a2x+2，
∴f′（x）=x²-4ax+3a²，
∵f（x）的極值點(diǎn)是x=3，
∴f′（3）=9-12a+3a²=0，
解得a=1或a=3．
（2）∵f′（x）=x²-4ax+3a²=（x-a）（x-3a），
①當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）=x²≥0在[0，4]內(nèi)恒成立，
故f（x）不是單峰函數(shù)，
故a=0不成立；
②當(dāng)a＜0時(shí)，由f′（x）＞0，得f（x）的增區(qū)間為（-∞，3a），（a，+∞），
由f′（x）＜0，得f（x）的減區(qū)間為（3a，a）
∵f（x）在[0，4]內(nèi)是單峰函數(shù)，
∴

0＜3a＜4 3a≥4

，或

0＜a＜4 3a≤0

，
無解．
③當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）＞0，得f（x）的增區(qū)間為（-∞，a），（3a，+∞），
由f′（x）＜0，得f（x）的減區(qū)間為（a，3a），
∵f（x）在[0，4]內(nèi)是單峰函數(shù)，
∴

0＜a＜4 3a≥4

或

0＜3a＜4 a≤0

，
解得α∈[

4

3

，4)．
綜上所述，a的取值范圍是[

4

3

，4）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意分類討論思想的靈活運(yùn)用．