Question

已知f(x)=

x2+1

3x+p

是奇函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)p的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（-∞，-1）上的單調(diào)性，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）由題意可知，f（-x）=-f（x），代入已知函數(shù)中即可求p
（2）利用單調(diào)性的定義，任取x₁＜x₂＜-1，然后通過作差法比較f（x₁）-f（x₂）的正負(fù)即可判斷

解答：解：（1）∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x）…（1分）
即

x2+1

-3x+p

=-

x2+1

3x+p

，…（2分）
∴

x2+1

-3x+p

=

x2+1

-3x-p

，
從而p=0；              …（5分）
（2）f(x)=

x2+1

3x

在（-∞，1）上是單調(diào)增函數(shù)．…（6分）
證明：f(x)=

x2+1

3x

，任取x₁＜x₂＜-1，則         …（7分）
f(x1)-f(x2)=

x 2 1 +1

3x1

-

x 2 2 +1

3x2

=

x 2 1 x2+x2- x 2 2 x1-x1

3x1x2

…（8分）
=

x1x2(x1-x2)-(x1-x2)

3x1x2

=

(x1-x2)(x1x2-1)

3x1x2

，…（10分）
∵x₁＜x₂＜-1，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂-1＞0，x₁x₂＞0，…（11分）
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x）在（-∞，-1）上是單調(diào)增函數(shù)．…（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查了利用奇函數(shù)的定義求解函數(shù)解析式及函數(shù)的單調(diào)性的定義在單調(diào)性的判斷中的應(yīng)用，要注意基本運(yùn)算