Question

已知f（x）=|x+3|+|x-7|的最小值為m，則(

x

-

1

3 x

)m展開式中的常數(shù)項是

 

．

Answer 1

分析：由絕對值不等式可得f（x）的最小值，可得m的值；將m代入(

x

-

1

3 x

)m中，進而可得其二項展開式為（-1）^r•C₁₀^10-r•x

30-5r

6

，令

30-5r

6

=0，可得r=6；代入二項展開式，可得答案．

解答：解：由絕對值不等式可得f（x）=|x+3|+|x-7|≥|3-（-7）|=10，
則其最小值為10，故m=10；
則（

x

-

1

3 x

）¹⁰的展開式為T_r+1=C₁₀^10-r•（

x

）^10-r•（-

1

3 x

）^r=（-1）^r•C₁₀^10-r•x

30-5r

6

，
令

30-5r

6

=0，可得r=6；
則其常數(shù)項為（-1）⁶•C₁₀⁴=210，
故答案為210．

點評：本題考查二項式定理的應(yīng)用，涉及絕對值的意義與化簡，有一定的難度．