Question

【題目】已知拋物線C：x2＝2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，拋物線上一點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3，且｜PF｜＝4，過(guò)M（m，0）作拋物線C的切線MA（斜率不為0），切點(diǎn)為A．

（1）求拋物線C的方程；

（2）求證：以FA為直徑的圓過(guò)點(diǎn)M．

Answer 1

【答案】（1）； （2）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）由拋物線的定義即可求出p的值，即可得解；

（2）設(shè)切線MA的方程為y=k（x﹣m），k≠0，聯(lián)立方程，可得△=16k2﹣16km=0，即m=k，切點(diǎn)M（2m，m2），由，即可判定以FA為直徑的圓過(guò)點(diǎn)M．

（1） ，

拋物線C的方程為：.

（2）設(shè)切點(diǎn)，切線MA的斜率為k，

，，，.

切線MA方程為：，即.

切線過(guò)， ，又， .

，，，

因此，以FA為直徑的圓過(guò)點(diǎn)M.

法二：設(shè)切線MA的方程為：

聯(lián)立方程：，消去y得：.

由題意知：.

， .，∴切點(diǎn)A的坐標(biāo)為.

∴.，.

∴所以FA為直徑的圓點(diǎn)過(guò)點(diǎn)M.