Question

【題目】已知函數(shù)，若在定義域內(nèi)存在，使得成立，則稱為函數(shù)的局部對(duì)稱點(diǎn).

（1）證明：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)必有局部對(duì)稱點(diǎn)；

（2）若函數(shù)在R上有局部對(duì)稱點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）設(shè)，可求出的解為，從而可知當(dāng)時(shí)，成立，即可證明函數(shù)在區(qū)間內(nèi)必有局部對(duì)稱點(diǎn)；

（2）由題意知在R上有解，令，則在上有解，結(jié)合二次函數(shù)零點(diǎn)的分布，分別討論方程在上根的個(gè)數(shù)，得到關(guān)于的不等式，從而可求出實(shí)數(shù)m的取值范圍.

證明：（1）設(shè)，則，令，則，

解得，即當(dāng)時(shí)，，即成立，

即函數(shù)在區(qū)間內(nèi)必有局部對(duì)稱點(diǎn)

解：（2），則在R上有解.

即在R上有解，

于是（*）在R上有解.

令，則，所以方程（*）變?yōu)?/span>，

設(shè)，則，

由，在上單調(diào)遞增知，，，，

即此時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；

設(shè)，則，

由，在上單調(diào)遞增知，，，，

即此時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；

故，從而已知即在上有解.

設(shè)（），分為兩種情況：

①當(dāng)方程有在唯一解時(shí)：

則或，

解得，；解得，，

則；

②當(dāng)方程在有兩個(gè)解時(shí)：.

綜上得.