Question

在△ABC中，滿足：

AB

⊥

AC

，M是BC的中點．
（I）若|

AB

|=|

.

AC

|，求向量

AB

+2

AC

．與向量2

.

AB

+

A • C

的夾角的余弦值；
（II）若O是線段AM上任意一點，且|

.

AB

|=|

AC

|=

2

，求

.

OA

•

O • B

+

OC

•

OA

的最小值；
（3）若點P是∠BAC內(nèi)一點，且|

.

AP

|=2，

AP

•

AC

=2，

AP

•

AB

=1，求|

AB

+

AC

+

AP

|的最小值．

Answer 1

分析：（I）利用向量的數(shù)量積公式得到cosθ=

( AB +2 AC )•(2 AB + AC )

| AB +2 AC |•|2 AB + AC |

，利用向量的數(shù)量積公式展開，求出向量

AB

+2

AC

．與向量2

.

AB

+

A • C

的夾角的余弦值；
（II）通過解三角形求出AM的長，設(shè)|

OA

|=x，則|

OM

|=1-x，利用向量的平行四邊形法則得到而

OB

+

OC

=2

OM

，利用向量的數(shù)量積公式將

.

OA

•

O • B

+

OC

•

OA

表示成關(guān)于x的二次函數(shù)，通過求二次函數(shù)的最值求出最小值．
（III）設(shè)∠CAP=α，將已知條件利用向量的數(shù)量積公式表示成關(guān)于α的三角函數(shù)，將|

AB

+

AC

+

AP

|平方轉(zhuǎn)化為關(guān)于α的三角函數(shù)，然后利用基本不等式求出其最小值．

解答：解：（I）設(shè)向量

AB

+2

AC

．與向量2

.

AB

+

AC

的夾角為θ
∴cosθ=

( AB +2 AC )•(2 AB + AC )

| AB +2 AC |•|2 AB + AC |

，
令|

AB

|=|

.

AC

|=a
∴cosθ=

2a2+2a2

5 a 5 a

=

4

5

（II）∵|

AB

|=|

.

AC

|=

2

，
∴|

AM

|=1
設(shè)|

OA

|=x，則|

OM

|=1-x，
而

OB

+

OC

=2

OM

∴

OA

•

OB

+

OC

•

OA

=

OA

•(

OB

+

OC

)=2

OA

•

OM

=2|

OA

||

OM

|cosπ
=-2x（1-x）=2x²-2x=2(x-

1

2

)2-

1

2

當(dāng)且僅當(dāng)x=

1

2

時，

OA

•

OB

+

OC

•

OA

的最小值是-

1

2

（III）設(shè)∠CAP=α⇒∠BAP=

π

2

-α
∵

AP

•

AC

=2，

AP

•

AB

=1，|

AP

|=2
∴2•|

AC

|cosα=2⇒|

AC

|=

1

cosα

，2•|

AB

|cos(

π

2

-α)=1⇒|

AB

|=

1

2sinα

∴|

AB

+

AC

+

AP

|2=

AB

2+

AC

2+

AP

2+2

AB

•

AC

+2

AC

•

AP

+2

AB

•

AP

= 1 cos2α + 1 4sin2α +4+2+4= sin2α+cos2α cos2α + sin2α+cos2α 4sin2α +10 = sin2α cos2α + cos2α 4sin2α + 45 4 ≥2 sin2αcos2α cos2α4sin2α + 45 4 =1+ 45 4 = 49 4

當(dāng)且僅當(dāng)

sin2α

cos2α

=

cos2α

4sin2α

⇒tanα=

2

2

時，|

AB

+.

AC

+

AP

|m

•

m

=

7

2

點評：解決向量的夾角問題，一般利用的是向量的數(shù)量積公式．是一道綜合題．