Question

【題目】已知拋物線的方程為，過點(diǎn)（為常數(shù)）作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，.

（1）過焦點(diǎn)且在軸上截距為的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，，兩點(diǎn)在軸上的射影分別為，，且，求拋物線的方程；

（2）設(shè)直線，的斜率分別為，.求證：為定值.

Answer 1

【答案】(1);(2)見解析.

【解析】試題分析：（1）由拋物線方程可知其焦點(diǎn)坐標(biāo)，則可得直線的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，消去，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)關(guān)系式，再由，從而問題可得解；（2）由題意，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義，通過兩切點(diǎn)計(jì)算兩條切線方程，從而得到兩切線斜率與拋物線參數(shù)的關(guān)系式，從而可證明，兩斜率的乘值為定值.

試題解析：（1）因?yàn)閽佄锞�的焦點(diǎn)坐標(biāo)是，

所以過焦點(diǎn)且在軸上截距為的直線方程是 ，即.

聯(lián)立消去并整理，得，

設(shè)點(diǎn)，，

則，.

則

，

解得.

所以拋物線的方程為.

（2）設(shè)點(diǎn)， .

依題意，由，得，

則.

所以切線的方程是，

即.

又點(diǎn)在直線上，

于是有，

即.

同理，有，

因此，，是方程的兩根，

則，.

所以，

故為定值得證.