Question

【題目】已知函數(shù)，其中，.

（1）若，，且對(duì)任意的，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若，，且在單調(diào)遞增，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）代入,可求得的解析式.代入不等式化簡(jiǎn),將不等式化簡(jiǎn)為關(guān)于的二次函數(shù)形式,結(jié)合即可求得的取值范圍.

（2）解法1:根據(jù)條件可求得函數(shù)的對(duì)稱軸,且由可得的表達(dá)式.再根據(jù)在單調(diào)遞增,可得關(guān)于的不等式組,解不等式組即可求得的最大值.

解法2:根據(jù)在單調(diào)遞增可先求得的取值范圍,結(jié)合可得函數(shù)的對(duì)稱軸, 且由可得的表達(dá)式.根據(jù)可求得的值,再求得于的值,即可得的解析式.進(jìn)而求得滿足在單調(diào)遞增時(shí)的最大值.

（1）∵,

∴

∴,即

∵

∴

∴當(dāng)時(shí),

∴

（2）解法1：∵

∴為圖像的對(duì)稱軸

又

∴

兩式相減得

∴

∵在單調(diào)遞增,令

∴在單調(diào)遞增

∴,則,

①+②得

∴

∵

∴當(dāng)時(shí)取到最大值為

解法2：在單調(diào)遞增

∴

∴

∵

∴為圖像的對(duì)稱軸

又

∴

兩式相加得

∵

∴或

①當(dāng)時(shí),,得,

②當(dāng)時(shí),得,

當(dāng),時(shí)

時(shí),

則滿足條件在單調(diào)遞增,所以的最大值為.