Question

【題目】已知是定義域為上的函數(shù)，若對任意的實數(shù)，都有：成立，當且僅當時取等號，則稱函數(shù)是上的凸函數(shù)，凸函數(shù)具有以下性質(zhì)：對任意的實數(shù)，都有：成立，當且僅當時取等號，設

（1）求證：是上的凸函數(shù)

（2）設，，利用凸函數(shù)的定義求的最大值

（3）設是三個內(nèi)角，利用凸函數(shù)性質(zhì)證明

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

（1）根據(jù)定義證明 成立，利用三角函數(shù)和差化積公式進行證明．

（2）根據(jù)定義求最值直接套入凸函數(shù)的定義式中，易得函數(shù)的最大值．

（3）直接利用凸函數(shù)性質(zhì)證明不等式即可，注意到中，，可證得結(jié)論成立．

（1）設，，則 ，

又

，又，

當且僅當時，，上式取得等號，

即成立，其中，，

上的凸函數(shù).

（2）設，，

是上的凸函數(shù)；，，

由凸函數(shù)的定義得到，

的最大值為.

（3）在中，，

由凸函數(shù)的性質(zhì)得到．

所以原不等式得證．