Question

【題目】以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.

（1）求曲線的參數(shù)方程與直線的普通方程；

（2）設(shè)點(diǎn)過為曲線上的動點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)為直線上的點(diǎn)，且滿足為等邊三角形，求邊長的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）：（為參數(shù)，），：；（2）

【解析】

（1）利用公式即可容易化簡曲線的方程為直角坐標(biāo)方程，再寫出其參數(shù)方程即可；利用消參即可容易求得直線的普通方程；

（2）設(shè)出的坐標(biāo)的參數(shù)形式，將問題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到直線距離的范圍問題，利用三角函數(shù)的值域求解即可容易求得結(jié)果.

（1）曲線的極坐標(biāo)方程為，

故可得，則，

整理得，也即，

由，則可得，

故其參數(shù)方程為（為參數(shù)，）；

又直線的參數(shù)方程為，

故可得其普通方程為.

（2）不妨設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

則點(diǎn)到直線的距離

，，

容易知在區(qū)間的值域?yàn)?/span>，

故可得.

則三角形的邊長為，故其范圍為.