Question

已知矩形與正三角形所在的平面互相垂直， 、分別為棱、的中點(diǎn)，,，

(1)證明：直線平面；
(2)求二面角的大小．

Answer 1

（1）證明：方法一：
取EC的中點(diǎn)F，連接FM，F(xiàn)N，
則，，， ………………………2分
所以且，所以四邊形為平行四邊形，
所以，                           …………………………………4分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823175155660397.gif" style="vertical-align:middle;" />平面，平面，
所以直線平面；                  …………………………………6分
（2）解：由題設(shè)知面面，，
又，∴面，作于，則，作，連接，由三垂線定理可知，
∴就是二面角的平面角，  …………………………………9分
在正中，可得，在中，可得，故在中，，                     …………………………………11分
所以二面角的大小為      …………………………………12分
方法二：如圖以N為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間右手直角坐標(biāo)系,所以
 
 …1分
（1）取EC的中點(diǎn)F ，所以，                   
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823175157017511.gif" style="vertical-align:middle;" />，
所以，；所以， ……………3分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823175157142681.gif" style="vertical-align:middle;" />，，所以  ………………………5分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823175155660397.gif" style="vertical-align:middle;" />平面，所以直線平面    ………………………7分
（2）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823175157329423.gif" style="vertical-align:middle;" />，
所以，；所以……………9分
        ………………………………11分
因?yàn)槎�面�?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823175155239452.gif" style="vertical-align:middle;" />的大小為銳角,
所以二面角的大小為     ………………………………12分

略