Question

【題目】已知直線與橢圓:交于兩點(diǎn).

（1）若線段的中點(diǎn)為,求直線的方程;

（2）記直線與軸交于點(diǎn),是否存在點(diǎn),使得始終為定值?若存在,求點(diǎn)的坐標(biāo),并求出該定值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1） （2）存在，,定值為.

【解析】

（1）設(shè),代入橢圓得根據(jù)點(diǎn)差法,即可求得答案;

（2）設(shè),當(dāng)直線與軸重合時(shí),有;當(dāng)直線與軸垂直時(shí),由,解得,結(jié)合已知,即可求得答案.

（1）設(shè),

代入橢圓得

兩式相減得:,

,

線段的中點(diǎn)為

,,

直線的斜率為:

直線的方程為:,

即:

（2）設(shè),當(dāng)直線與軸重合時(shí),

有;

當(dāng)直線與軸垂直時(shí),

由,

解得

存在點(diǎn),則,,

根據(jù)對(duì)稱性,只考慮直線過(guò)點(diǎn),

設(shè),

設(shè)直線的方程為,

由,消掉,

可得:,

根據(jù)韋達(dá)定理可得:,

,

同理,

,

綜上所述,存在點(diǎn)M(,0),使得為定值.