Question

已知橢圓的離心率為，且過點（），
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線與橢圓交于P，Q兩點，且以PQ為對角線的菱形的一頂點為（-1，0），求：△OPQ面積的最大值及此時直線的方程.

Answer 1

（1）（2）面積取最大值1，= 

試題分析：（Ⅰ）∵
故所求橢圓為：又橢圓過點（）  ∴ ∴ ∴
(Ⅱ)設(shè)的中點為
將直線與聯(lián)立得，
 ①
又=
又（-1，0）不在橢圓上，依題意有整理得 ②…
由①②可得，∵, 設(shè)O到直線的距離為，則
 =
=…分）
當(dāng)的面積取最大值1，此時= ∴直線方程為= 
點評：直線與橢圓相交時常聯(lián)立方程，利用韋達定理設(shè)而不求的方程轉(zhuǎn)化求解出弦長，本題求解三角型面積最值轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)，有時利用均值不等式求最值，此題中第二小題屬于難題