Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求的最小值；

（2）若函數(shù)在上存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）求導(dǎo)后可得，令，利用導(dǎo)數(shù)可知函數(shù)恒成立，由此可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，進(jìn)而得到最小值；

（2）分及討論，當(dāng)時(shí)，無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)可知滿足題意，進(jìn)而得出結(jié)論．

解：（1）由已知得當(dāng)時(shí)，

．

令，則．

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以，所以，

則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

因此在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以．

（2）

令．

①當(dāng)時(shí)，．

又因?yàn)?/span>，，所以，

此時(shí)在單調(diào)遞増，所以函數(shù)無(wú)極值．

②當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增．

又，，所以在上存在唯一零點(diǎn)，設(shè)為，

所以當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上存在極值點(diǎn)．

綜上所述，的取值范圍是．