Question

【題目】已知函數(shù)，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).

（1）若函數(shù)的最小值為0，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）令，當(dāng)時(shí)根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)遞增不符合題意，當(dāng)時(shí)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性從而求出最小值，根據(jù)最小值為0列出方程求解即可；（2）不等式化簡為，則對任意恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，根據(jù)不等式恒成立的條件即可求得a的值.

（1），

所以，，

①當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，不合題意；

②當(dāng)時(shí)，時(shí)，，時(shí)，，

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

，令，則，

因?yàn)?/span>時(shí)，時(shí)，

所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，

所以，所以由知，解得，

即實(shí)數(shù)的值為.

（2）因?yàn)?/span>，恒成立，所以，

即對任意恒成立，

令，則，

由（1）知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，

所以 ，所以，即.

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.