Question

【題目】如圖1所示，在直角梯形DCEF中，，，，，將四邊形ABEF沿AB邊折成圖2.

（1）求證：平面DEF；

（2）若，求平面DEF與平面EAC所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）連接BD,交AC于點O,取DE的中點為G,連接FG，OG，證明，再利用線面平行判定定理，即可證得平面DEF；

（2）以C為坐標原點，CB，CD，CE所在直線分別為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標系，求出平面DEF的法向量，平面EAC的法向量，求出兩個法向量夾角的余弦值，從而求得平面DEF與平面EAC所成銳二面角的余弦值。

（1）連接BD,交AC于點O,取DE的中點為G,連接FG，OG,

則，，

又因為，，

所以，且，

所以四邊形AOGF是平行四邊形，

所以，

又平面DEF，平面DEF，

所以平面DEF.

（2）因為，，，

所以，

所以，

因為，，，

所以，

所以，

因為，

所以平面ABCD，

所以CB，CD，CE兩兩垂直，

以C為坐標原點，CB，CD，CE所在直線分別為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標系，

則，，，，，

由，得，

設平面DEF的法向量為，

因為，，

所以由，，得，

令，得，，

所以，

設平面EAC的法向量，

因為，，

所以由，，得，

令，得，

設平面DEF與平面EAC所成的銳二面角為，

所以，

所以平面DEF與平面EAC所成的銳二面角的余弦值為.