Question

【題目】對于在某個(gè)區(qū)間上有意義的函數(shù)，如果存在一次函數(shù)使得對于任意的，有恒成立，則稱函數(shù)是函數(shù)的一個(gè)弱漸近函數(shù).

（1）若函數(shù)是函數(shù)在區(qū)間上的一個(gè)弱漸近函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）證明：函數(shù)是函數(shù)在區(qū)間上的弱漸近函數(shù)；

（3）試問：函數(shù)與函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）在區(qū)間上是否存在相同的弱漸近函數(shù)？如果存在，請求出對應(yīng)的弱漸近函數(shù)應(yīng)滿足的條件；如不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）存在，，其中.

【解析】

（1）由弱漸近函數(shù)的定義得出，由此可求出實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，利用分子有理化結(jié)合放縮法證明出，結(jié)合弱漸近函數(shù)的定義可證明結(jié)論成立；

（3）假設(shè)存在滿足題意的弱漸近函數(shù)，根據(jù)弱漸近函數(shù)的定義得出和，可求得以及實(shí)數(shù)所滿足的不等式組，解出即可得出滿足題意的若漸近函數(shù)的解析式.

（1）依題意，當(dāng)時(shí)，恒成立，

即恒成立，故，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是；

（2）當(dāng)時(shí)，

，

，.

故，得證；

（3）假設(shè)存在滿足題意的弱漸近函數(shù)，

，

若，由于當(dāng)時(shí)，，故，

但是，當(dāng)時(shí)，，故，

不符合“恒成立”的要求，所以，

此時(shí)，則，

解得：；

，

當(dāng)時(shí)，，故，

得，解得：.

綜上所述，函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上存在相同的弱漸近函數(shù)，對應(yīng)的弱漸近函數(shù)是，其中.