Question

【題目】如圖，在直三棱柱中，，是的中點，.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）異面直線和所成角的余弦值為，求幾何體的體積.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）2

【解析】

（Ⅰ）連結(jié)交于點，連結(jié)，證出，利用線面平行的判定定理即可證出.

（Ⅱ）根據(jù)題意可求出，在中，利用余弦定理求出，由結(jié)合三棱錐的體積公式即可求解.

（Ⅰ）如圖，連結(jié)交于點，連結(jié)，

因為在直三棱柱中，四邊形是矩形，

所以點是的中點，

因為是的中點，

所以.

因為平面，平面，

所以平面.

（Ⅱ）因為棱柱是直三棱柱，

所以，

因為，，

所以，

因為異面直線和所成角的余弦值為.

所以，

因為，，

所以.

根據(jù)余弦定理，在中，，

可得，

因為，，所以由勾股定理可得，

因為，，，

所以平面，

同理平面，

所以

.

所以幾何體的體積為2.