Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若曲線在點(diǎn)處的切線與有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求的值；

（2）求證：函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，并求出單調(diào)遞減區(qū)間的長(zhǎng)度的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）

【解析】

（1）注意到函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，.

所以，在切點(diǎn)處的切線的斜率為.

因此，切線方程為.

因?yàn)榍芯�與曲線有唯一的公共點(diǎn)，

所以，方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解.

顯然，是方程的一個(gè)解.

令. 則.

當(dāng)時(shí)，（只有時(shí)等號(hào)成立），

于是，在上單調(diào)遞增，即是方程唯一的實(shí)數(shù)解.

當(dāng)時(shí)，由，得，.

在區(qū)間上，，在區(qū)間上，.

所以，函數(shù)在處有極大值，且.

而當(dāng)時(shí)，，因此，在內(nèi)也有一個(gè)解，矛盾.

綜上，得.

（2）注意到.

故. ①

因?yàn)?/span>，且對(duì)稱軸為，

，

所以，方程在內(nèi)有兩個(gè)不同實(shí)根、，即式①的解集為.

故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.

則.

又因?yàn)?/span>，所以，.

從而，函數(shù)的遞減區(qū)間長(zhǎng)度的取值范圍為.