Question

【題目】如圖1，在矩形中，，，為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)．將沿折起到，使得平面平面（如圖2）．

（1）求證：；

（2）求直線與平面所成角的正弦值；

（3）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面? 若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析

【解析】

（1）先證明平面．再證明.(2) 以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）,利用向量法求直線與平面所成角的正弦值.(3) 假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使得平面.設(shè)，且，根據(jù)平面求得，所以當(dāng)時(shí)，平面．

（1）由已知，

因?yàn)?/span>為中點(diǎn)，所以．

因?yàn)槠矫?/span>平面，且平面平面，

平面，所以平面．

又因?yàn)?/span>平面，所以．

（2）設(shè)為線段上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，為中點(diǎn)．

由已知易得．

由（1）可知，平面，

所以，.

以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸

建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）．

因?yàn)?/span>，，

所以．

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

因?yàn)?/span>，

所以 即

取，得．

而 .

所以直線與平面所成角的正弦值

（3）在線段上存在點(diǎn)，使得平面.

設(shè)，且，則，．

因?yàn)?/span>，所以，

所以，

所以，．

若平面，則.即.

由（2）可知，平面的一個(gè)法向量，

即，解得，

所以當(dāng)時(shí)，平面．