Question

【題目】在四棱錐中，側(cè)面底面，底面為直角梯形，∥，，，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)。

（1）求證：∥平面；

（2）求二面角的余弦值。

Answer 1

【答案】(1)見證明；(2)

【解析】

（1）利用面外線與面內(nèi)線平行證明面外線平行于平面。

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩個(gè)半平面的法向量的夾角余弦值，來求二面角的平面角的余弦值，或用幾何法找到二面角的平面角來求余弦值。

（1）連接交于，并連接，，

，，為中點(diǎn)，，且，

四邊形為平行四邊形，

為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，，

平面，平面，平面.

（2）〖解法1〗（向量法）連接，由E為AD的中點(diǎn)及，

得則，∵側(cè)面底面，且交于，

∴面，

如圖所示，以E為原點(diǎn)，EA、EB、EP分別為

x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，C.

∵為的中點(diǎn)，∴F

∴，

設(shè)平面EBF法向量為，則,

取,

平面EBA法向量可取：,

設(shè)二面角F-BE-A的大小為，顯然為鈍角，

∴,

∴二面角F-BE-A的余弦值為

（2）〖解法2〗（幾何法1）連接，

由E為AD的中點(diǎn)及，

得∵，

取中點(diǎn)，連，，，

側(cè)面底面，且交于，，

∴面

∵ 面 面

∴

∵為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)

，

∴

∴∠MEA為二面角F-BE-A的平面角

在中，，

在中，由余弦定理得

∴在中，由余弦定理得cos∠MEA，

所以二面角F-BE-A的余弦值為.

（2）〖解法3〗（幾何法2）連接，由E為AD的中點(diǎn)及，

得側(cè)面底面，∴面，

∵，

連交于點(diǎn)，則為中點(diǎn)，連，，，

∵為的中點(diǎn)，∴，面，

又，∴ ∴

∴∠FNQ為二面角F-BE-A的平面角的補(bǔ)角

在中，，

由勾股定理得

∴cos∠FNQ，

所以二面角F-BE-A的余弦值為.