Question

【題目】已知函數(shù)，，．

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若恒成立，，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；（2）的最大值為.

【解析】

（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，分和兩種情況利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（2）恒成立等價(jià)于對(duì)任意恒成立，結(jié)合（1）中的結(jié)論，分和兩種情況分別求出函數(shù)的最大值，并滿足，據(jù)此得到關(guān)于的不等式，進(jìn)而求出的最大值即可.

（1）因?yàn)楹瘮?shù)，，，

所以，，

當(dāng)時(shí)，在上恒成立，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，令，則，

所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

綜上可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.

（2）由題意知，恒成立等價(jià)于對(duì)任意恒成立，

由（1）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)，顯然不符合題意，故舍去；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

所以此時(shí)函數(shù)的最大值為，即需滿足成立，

所以可得，兩邊同時(shí)除以可得，，，

令，則，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值為，即，

故所求的最大值為.